岡山大学1991年入試問題

• 次のアプレットを使って、上の問題を解いていきます。
• まず、step1では、青いベクトルと、緑のベクトルを単位円上で自由に動かすことができます。
• step1で、cosx+cosy=1となるためには、どのような条件が必要なのかを考えてみましょう。
• step2では、青いベクトルのみ動かすことができます。
• step2で、sinx+sinyの最大値と最小値を考えてみましょう。
• [平行線]のボタンを押すと、青いベクトルと、緑のベクトルによって張られる平行四辺形が現れます。

青いベクトル=

緑のベクトル=

(3)について
このアプレットを使って考えてみましょう。

となることは、アプレットより明らかです。青いベクトルと、緑のベクトルは、ともに大きさ１のベクトルですから、 その２つのベクトルによって作られる平行四辺形は、ひし形となります。

つまりこの平行四辺形の対角線は、角の２等分線となっていることが分かります。

このことから、紫のベクトル(青のベクトル＋緑のベクトル)とｘ軸とのなす角は、(x+y)/2となります。
これと、紫のベクトル(青のベクトル＋緑のベクトル)のｘ成分(cosx+cosy)が１であることを考えれば、となります。

続いてsinx+sinyの最大値最小値の問題について考えてみます。

これは、紫のベクトル(青のベクトル＋緑のベクトル)の大きさの問題に置き換えることができます。なぜなら、紫のベクトルのｘ成分が１で固定されていることから、紫のベクトルのｙ成分は、そのベクトルの大きさによって決まることになります。

ここでベクトルの大きさ、つまり、ひし形の対角線の長さについてひし形の角の開きが大きいとき、対角線は短くなり、ひし形の角の開きが小さいとき対角線は長くなります。

以上より、(x+y)/2=90゜のとき最小値をとり、(x+y)/2=0゜のとき最大値をとることになります。
よって、最大値は1,最小値はとなります。