等比数列の和

Introduction

今、以下のように等比数列が与えられています。

このアプレットを使って、等比数列の和を図形的に理解できるようにしましょう。

アプレットの使い方

[Clear]ボタンを押すと描かれていたものがすべて消えます。

アプレットの中のaが等比数列の初項, rが公比となっています。

A1を動かすと初項(a)が変わります。

Y=rXの直線を動かす(傾きを変える)と公比(r)が変わります。

[<=]ボタンを押すと次の項が現れます。

[Add]ボタンを押すとそれまでの項が足されます。

[Sum]ボタンを押すとそれぞれの項の(1-r)倍の和が現れます。

[Ans]ボタン([Sum]ボタンを１回押すと[Ans]ボタンに変わります。)を押すと[Sum]で行われた作業の意味が分かります。

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等比数列の和とは、はじめの図の左側のピンク色の棒をすべて足しあわせたものとなります。
しかしこのままでは、等比数列の和を求めることはできません。
ここで発想の転換をしてみます。
それぞれの項を(1-r)倍したものを考えてみます。
これは隣接する２項間の差となります。
これらの和を考えてみると以下のような関係式が成り立っていることがわかります。

そこで、私たちが今求めようとしているのは、
S=ですから

r < 0の場合についてはそれぞれで考えてみてください。

-1 < r < 1の場合
のときとなることから

となります。